taramath
Mathematische Grundlagen
zum Verständnis der Inhalte von taramath
Literaturempfehlung
Numerische Grundlagen zum Verständnis der Inhalte von taramath sind als Lehrbuch im Springer-Verlag unter dem Titel Numerik interaktiv - Grundlagen verstehen, Modelle erforschen und Verfahren anwenden mit taramath erschienen. Dabei wurde insbesondere auf eine möglichst einfache und didaktisch wertvolle Heranführung der einzelnen Themen geachtet.
Numerik interaktiv
Auf dieser Homepage stehen zu den einzelnen Kapiteln des Buches daher nur zweiseitige Leseproben zur Verfügung.
Einige weitere Skripte stehen vollständig bereit, befinden sich allerdings meist in einer unkorrigierten Version. Jederzeit freue ich mich über Rückmeldungen zu gefundenen Fehlern, insbesondere bei inhaltlichen Unstimmigkeiten.
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Nichtlineare Gleichungssysteme
In diesem Kapitel untersuchen wir eine der wichtigsten Grundlagen vieler Algorithmen der numerischen Mathematik, nämlich iterative Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen. Neben der Fixpunktiteration beschäftigen wir uns insbesondere mit dem Banach’schen Fixpunktsatz sowie dem Newton-Verfahen.
nichtlineare-gleichungssysteme.pdf
Lineare Gleichungssysteme
In diesem Kapitel werden diverse Verfahren zur Faktorisierung von quadratischen Matrizen vorgestellt, welche zum Lösen von linearen Gleichungssysteme herangezogen werden können. Ein Augenmerk liegt dabei auch auf der Komplexität der einzelnen Verfahren. Darüber hinaus werden iterative Lösungsverfahren diskutiert, welche die exakte Lösung approximieren.
lineare-gleichungssysteme.pdf
Eigenwertprobleme
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der numerischen Berechnung von Eigenwerten sowie Eigenvektoren. Obwohl die meisten hier vorgestellten Verfahren allgemein gültig sind, beschränken wir uns bewusst auf symmetrische Matrizen, denn sämtliche Eigenwerte von symmetrischen Matrizen sind reell.
eigenwertprobleme.pdf
Singulärwertzerlegung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Singulärwerten von beliebigen Matrizen, welche ähnlich der Eigenwerte wichtige Eigenschaften einer jeden Matrix sind.
singulaerwertzerlegung.pdf
Numerische Integration
In diesem Kapitel erarbeiten wir numerische Verfahren zur Integration von reellen Funktionen. Neben Newton-Cotes-Quadraturen sowie deren zusammengesetzter Varianten leiten wir das Romberg-Verfahren her, welches eine überraschend schnelle Konvergenz gegen das exakte Integral aufweist.
integration.pdf
Anfangswertprobleme
Unter einem Anfangswertproblem verstehen wir eine gewöhnliche Differentialgleichung, dessen Lösung eine Funktion der Zeit ist, welche zum Startzeitpunkt durch einen Anfangswert bekannt ist. In diesem Kapitel behandeln wir gängige Lösungsverfahren zur diskreten Approximation der gesuchten Lösungsfunktion.
anfangswertprobleme.pdf
Randwertprobleme
Bei (zeitunabhängigen) Randwertproblemen handelt es sich um Differentialgleichungen, welche auf einem (örtlichen) Gebiet unter Verwendung von Bedingungen am Rand des Gebietes zu lösen sind. In diesem Kapitel diskutieren wir unterschiedliche Lösungsverfahren und beschränken uns dabei bewusst auf zweidimensionale Gebiete.
randwertprobleme.pdf
Diskrete Fouriertransformation
In diesem Kapitel erarbeiten wir numerische Verfahren zur Interpolation von periodischen Funktionen. Dies führt uns insbesondere auf die diskrete Kosinustransformation sowie die diskrete Fouriertransformation, welche wir anhand praktischer Beispiele vorstellen werden.
fouriertransformation.pdf
Simplex-Verfahren
Das Simplex-Verfahren ist eine der grundlegenden Methoden zur Lösung von linearen Programmen. In dieser Ausarbeitung leiten wir das Verfahren unter Verwendung von Basislösungen im Detail her und geben zahlreiche praxisnahe Beispiele. Dabei werden unterschiedliche Pivotregeln diskutiert und es wird zwischen primalen sowie dualen Simplex-Verfahren unterschieden.
simplex.pdf
Innere-Punkte-Verfahren
Neben dem Simplex-Verfahren dienen auch Innere-Punkte-Verfahren zur Lösung von linearen Programmen. Obwohl derartige Verfahren aus theoretischer Sicht teilweise ungünstige Konvergenzeigenschaften besitzen, können in der Praxis viele Probleme äußerst effizient gelöst werden. Als Anwendungsbeispiel diskutieren wir daher insbesondere Zwei-Personen Nullsummenspiele aus der Spieltheorie.
innere-punkte.pdf