taramath: Julia-Mengen

Beschreibung

Die Fixpunktiteration

kann zur Bestimmung von Nullstellen eines nichtlinearen Gleichungssystems herangezogen werden: Falls die Folge gegen einen Fixpunkt konvergiert, dann ist auch eine Lösung von

Dabei ist es interessant zu untersuchen, für welche Startwerte die Folge gegen einen Fixpunkt konvergiert. Der Rand dieser Menge wird als Julia-Menge bezeichnet.

Beispiel

Im folgenden Beispiel untersuchen wir die Fixpunktiteration zur Funktion

unter Verwendung der Parameter . Insbesondere wird die Konvergenz der Fixpunktiteration untersucht: Für Startwerte aus dem schwarzen Bereich scheint die Fixpunktiteration zu konvergieren, für Startwerte aus dem hellgrauen Bereich hingegen nicht.

<!DOCTYPE html>
<html>

<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>

<body>

<div id="plot"></div>

<script>

var c = [ -0.430, 0.560 ];
var range_x = [ -2, 2 ];
var range_y = [ -2, 2 ];
var width = 320;
var height = 320;

function distance (x, y) {
  return Math.sqrt( (x[0]-y[0])*(x[0]-y[0]) + (x[1]-y[1])*(x[1]-y[1]) );
};

function phi (x) {
  return [ x[0]*x[0] - x[1]*x[1] + c[0], 2*x[0]*x[1] + c[1] ];
};

function iterate (z) {
  var y = z;
  var x = phi(z);
  var k = 0;

  while ((k < 2550) && (distance(x,y) > 1E-4) && (distance(x,[0,0]) < 10)) {
    y = x;
    x = phi(x);
    k++;
  };

  if (distance(x,y) <= 1E-4) return 0;
  return 240;
};


var A = LinearAlgebra.zero_matrix(height, width);
for (var i = 0; i < height; i++) for (var j = 0; j < width; j++) {
  var x = range_x[0] + (range_x[1]-range_x[0]) * (j+0.5)/width;
  var y = range_y[1] - (range_y[1]-range_y[0]) * (i+0.5)/height;
  A[i][j] = iterate([x,y]);
};

Plot.init("plot");
Plot.image(A);

</script>

</body>
</html>

Vorschau aktualisieren

Beispiel

In diesem Beispiel wird die gleiche Fixpunktiteration wie zuvor untersucht, nun aber unter Verwendung der Parameter . Dabei wurde ein andere Bildausschnitt gewählt und die Farbgebung verdeutlich für die Startwerte einer nicht-konvergenten Folge, wie schnell die Folge divergiert.

Tipp: Wähle analog zum Beispiel zuvor den Bildausschnitt und aktualisiere die Vorschau.

<!DOCTYPE html>
<html>

<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>

<body>

<div id="plot"></div>

<script>

var c = [ 0.348, -0.349 ];
var range_x = [ -0.5, -0.3 ];
var range_y = [ -0.1,  0.1 ];
var width = 320;
var height = 320;

function distance (x, y) {
  return Math.sqrt( (x[0]-y[0])*(x[0]-y[0]) + (x[1]-y[1])*(x[1]-y[1]) );
};

function phi (x) {
  return [ x[0]*x[0] - x[1]*x[1] + c[0], 2*x[0]*x[1] + c[1] ];
};

function iterate (z) {
  var y = z;
  var x = phi(z);
  var k = 0;

  while ((k < 2550) && (distance(x,y) > 1E-4) && (distance(x,[0,0]) < 10)) {
    y = x;
    x = phi(x);
    k++;
  };

  if (distance(x,y) <= 1E-4) return 0;
  return Math.max(Math.floor(255-10*k),0);
};


var A = LinearAlgebra.zero_matrix(height, width);
for (var i = 0; i < height; i++) for (var j = 0; j < width; j++) {
  var x = range_x[0] + (range_x[1]-range_x[0]) * (j+0.5)/width;
  var y = range_y[1] - (range_y[1]-range_y[0]) * (i+0.5)/height;
  A[i][j] = iterate([x,y]);
};

Plot.init("plot");
Plot.options("color_table");
Plot.matrix(A, 1, "canvas");

</script>

</body>
</html>

Vorschau aktualisieren

Julia-Mengen

zur Konvergenzanalyse der Fixpunktiteration