taramath: Die Laplace-Gleichung

Beschreibung

Funktionen , welche die Laplace-Gleichung

auf einem Gebiet unter Verwendung von Dirichlet-Randbedingungen lösen, werden in der Funktionentheorie als harmonische Funktionen bezeichnet. Da die analytische Lösung der Laplace-Gleichung häufig nicht möglich ist, kommen numerische Verfahren wie beispielsweise die Finite-Elemente-Methode zum Einsatz.

Beispiel

Im folgenden Beispiel wird die Laplace-Gleichung auf einem Ring unter Verwendung der Finite-Elemente-Methode gelöst, wobei die Dirichlet-Randbedingungen durch definiert werden. Anschließend wird das Ergebnis entsprechend dargestellt.

<!DOCTYPE html>
<html>

<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>

<body>

<div id="div_d" style="display:inline-block"></div>
<div id="div_a" style="display:inline-block"></div>

<script>

  // Definition von g(x,y) auf dem aeusseren Rand des Ringes.
  function g1 (x, y) {
    var pi = Math.PI;
    var h = (y == 0 ? pi/2 : Math.atan(x/y) - (y < 0 ? pi : 0));
    return t = Math.sin(5*h);
  };

  // Definition von g(x,y) auf dem inneren Rand des Ringes.
  function g2 (x, y) {
    return 0;
  };

  function g (x, y) {
    return (Math.sqrt(x*x+y*y) > 0.8 ? g1(x,y) : g2(x,y));
  };

  Fem.init();
  Fem.generate_mesh("ring", 24);

  Fem.set_function_f(0);
  Fem.set_function_g(g);

  Fem.solve_poisson();

  Fem.plot_draft("div_d", 320, 320);
  Fem.plot_mesh("div_a", 320, 320, "animate");

</script>

</body>
</html>

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Die Laplace-Gleichung

als Spezialfall der Poisson-Gleichung