taramath: Lineare Regression

Beschreibung

Gegeben sei eine -Matrix mit sowie ein Vektor . Angenommen das Gleichungssystem

ist nicht lösbar, so ist man daran interessiert, eine Lösung der Optimierungsaufgabe

zu bestimmen. Diese Aufgabe wird auch als lineares Ausgleichsproblem bezeichnet und kann unter Verwendung einer QR-Zerlegung von gelöst werden.

Ein Anwendungsbereich von Ausgleichsproblemen ist beispielsweise die Regression von fehlerbehafteten Messdaten. Details dazu können dem folgenden Dokument entnommen werden.

leastsquares.pdf

Beispiel

Im folgenden Beispiel lösen wir ein lineares Ausgleichsproblem zur linearen Regression von Messdaten. Hierzu werden Messpunkte mit jeweils zufälligen Messfehlern generiert. Die Lösung der entsprechenden linearen Regression wird schließlich unter Verwendung der QR-Zerlegung berechnet und grafisch dargestellt.

<!DOCTYPE html>
<html>

<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>

<body>

<div id="plot"></div>

<script>

  var n = 2;
  var m = 100;

  // Zufaellige Messpunkte generieren.
  var P = new Array(m);
  var w = 2*Math.random()-1;
  var e = 20*Math.random()-10;
  for (var i = 0; i < m; i++) {
    var t = 10*Math.random();
    var r = 2*Math.pow(2*Math.random()-1,3);
    P[i] = [t, e + w*t + r];
  };

  // Matrix A und Vektor b des Ausgleichsproblems aufstellen.
  var A = new Array(m);
  for (var i = 0; i < m; i++) A[i] = [P[i][0], 1];
  var b = new Array(m);
  for (var i = 0; i < m; i++) b[i] = P[i][1];

  // Ausgleichsproblem unter Verwendung einer QR-Zerlegung loesen.
  var T = LinearAlgebra.qr(A);
  var Q = T[0];
  var R = T[1];
  var cu = LinearAlgebra.mult(LinearAlgebra.transpose(Q),b).splice(0,n);
  var Ru = new Array(n);
  for (var k = 0; k < n; k++) Ru[k] = R[k];
  var x = LinearAlgebra.solve(Ru, cu);

  // Messpunkte sowie Loesung darstellen.
  function f (t) {
    return x[0]*t + x[1];
  };
  Plot.init("plot", 720, 340);
  Plot.add_list(P);
  Plot.add_func(f, 0, 10);
  Plot.caption("x-Achse", "y-Achse");
  Plot.draw();

</script>

</body>
</html>

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Lineare Regression

als Anwendung von linearen Ausgleichsproblemen