taramath: Lineare Regression

Beschreibung

Gegeben sei eine -Matrix mit sowie ein Vektor . Angenommen das Gleichungssystem

ist nicht lösbar, so ist man daran interessiert, eine Lösung der Optimierungsaufgabe

zu bestimmen. Diese Aufgabe wird auch als lineares Ausgleichsproblem bezeichnet und kann unter Verwendung eines linearen Programms gelöst werden.

Ein Anwendungsbereich von Ausgleichsproblemen ist beispielsweise die Regression von fehlerbehafteten Messdaten. Details dazu können dem folgenden Dokument entnommen werden.

lpregression.pdf

Beispiel

Im folgenden Beispiel lösen wir ein lineares Ausgleichsproblem zur linearen Regression von Messdaten. Hierzu werden Messpunkte mit jeweils zufälligen Messfehlern generiert. Die Lösung der entsprechenden linearen Regression wird schließlich unter Verwendung eines linearen Programms berechnet und grafisch dargestellt.

<!DOCTYPE html>
<html>

<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>

<body>

<div id="plot"></div>

<script>

  var n = 2;
  var m = 100;

  // Zufaellige Messpunkte generieren.
  var P = new Array(m);
  var w = 2*Math.random()-1;
  var e = 20*Math.random()-10;
  for (var i = 0; i < m; i++) {
    var t = 10*Math.random();
    var r = 2*Math.pow(2*Math.random()-1,3);
    P[i] = [t, e + w*t + r];
  };

  // Matrix A und Vektor b des Ausgleichsproblems aufstellen.
  var A = new Array(m);
  for (var i = 0; i < m; i++) A[i] = [P[i][0], 1];
  var b = new Array(m);
  for (var i = 0; i < m; i++) b[i] = P[i][1];

  // Ausgleichsproblem unter Verwendung eines linearen Programms loesen.
  var Ap = new Array();
  var bp = new Array();
  var sp = new Array();
  for (var i = 0; i < m; i++) {
    Ap.push([A[i][0], A[i][1], -1]);
    bp.push(b[i]);
    sp.push(-1);
    Ap.push([A[i][0], A[i][1], 1]);
    bp.push(b[i]);
    sp.push(1);
  };
  var cp = [0,0,1];
  var zp = [0,0,1];
  var S = LinearProgramming.minimize(cp, zp, Ap, bp, sp);
  var x = S[0];

  // Messpunkte sowie Loesung darstellen.
  function f (t) {
    return x[0]*t + x[1];
  };
  Plot.init("plot", 720, 340);
  Plot.add_list(P);
  Plot.add_func(f, 0, 10);
  Plot.caption("x-Achse", "y-Achse");
  Plot.draw();

</script>

</body>
</html>

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