taramath: Populationsdynamik

Beschreibung

Unterschiedliche Modelle der Populationsdynamik können als Anfangswertprobleme formuliert werden. Im einfachsten Falle beschreiben wir mit die relative Anzahl von Individuen der Population zum Zeitpunkt für . Als Räuber-Beute-Modell kann das Szenario dann durch die Differentialgleichungen

für ausgedrückt werden. Dabei sind die Einträge einer in der Regel schiefsymmetrischen Matrix .

Beispiel

Im folgenden Beispiel lösen wir das zuvor beschriebene System unter Verwendung von Spezies. Die Räuber-Beute-Beziehungen werden durch die schiefsymmetrisch Matrix definiert und die relative Anzahl der Individuen der einzelnen Populationen zum Zeitpunkt wird durch den Anfangswert gegeben.

Tipp: Verändere die Werte der Matrix und achte dabei darauf, dass weiterhin schiefsymmetrisch ist. Was passiert, wenn leicht (etwas um ) von der Schiefsymmetrie abweicht?

<!DOCTYPE HTML>
<html>

<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>

<body>

<div id="plot"></div>

<script>

  var K = [
    [  0,  1, -2 ],
    [ -1,  0,  3 ],
    [  2, -3,  0 ]
  ];

  var dgl = "";
  dgl += "x1'(t) = " + K[0][1] + " * x1(t)*x2(t) + " + K[0][2] + " * x1(t)*x3(t);";
  dgl += "x2'(t) = " + K[1][0] + " * x2(t)*x1(t) + " + K[1][2] + " * x2(t)*x3(t);";
  dgl += "x3'(t) = " + K[2][0] + " * x3(t)*x1(t) + " + K[2][1] + " * x3(t)*x2(t);";

  var z = "x(0) = ( 1, 2, 3 );";

  Ode.define_method(4);
  Ode.solve(dgl, z, 4, 0.01);
  Ode.plot_options("line");
  Ode.plot_solution("plot", 760, 300);

</script>

</body>
</html>

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Populationsdynamik

als Räuber-Beute-Modell mit drei Spezies