Temperaturverteilung eines Raumes

mit Fussbodenheizung und geöffnetem Fenster

q r s u t

Beschreibung

Ein klassischer Anwendungsfall der Poisson-Gleichung ist die stationäre oder zeitunabhängige Wärmeleitungsgleichung, welche die räumliche Änderung der Temperatur beschreibt. Die Randbedingungen haben dabei folgende Bedeutung:

Ist die Temperatur auf dem Rand bekannt, so liegen Dirichlet-Randbedingungen vor.

Bei Neumann-Randbedingungen findet ein Wärmefluss zwischen dem Gebiet und der Umgebung statt.

Die Robin-Randbedingungen beschreiben einen Wärmeaustausch zwischen dem Gebiet und der Umgebung.

Das folgende Beispiel modelliert die Temperaturverteilung eines Raumes mit Fussbodenheizung und geöffnetem Fenster.

Beispiel

Wie untersuchen den Querschnitt durch einen Wohnraum mit Fussbodenheizung sowie geöffnetem Fenster an der linken oberen Außenwand. Hierzu definieren wir die Temperatur der Fussbodenheizung als

40^\circ C

und die Außentemperatur als

-10^\circ C

Am Boden sowie am Fenster definieren wir Dirichlet-Randbedingungen, da die Temperatur hier bekannt ist. Unter der Annahme, dass die Decke perfekt isoliert ist, werden hier Neumann-Randbedingungen mit

h(x)=0

definiert. An allen übrigen Seitenwänden findet ein Wärmeaustausch zwischen Raum und Umgebung statt, was durch Robin-Randbedingungen modelliert wird.

Hinweis: Der Parameter

\omega

definiert dabei die Wärmedämmung der Seitenwände. Verändere den Wert von

\omega

, aktualisiere die Vorschau, beobachte die Wämeverteilung des Raumes und interpretiere das Ergebnis.

<!DOCTYPE HTML>
<html>

<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>

<body>

<div id="plot"></div>

<script>

  var T_Heizung = 40; // Temperatur Fussbodenheizung
  var T_Aussen = -10; // Aussentemperatur


  // Definition des Gebietes

  Fdm.init(0.0, 1.5, 0.0, 1.0, 0.1);


  // Definition der Randbedingungen

  function boundary (x, y) {
    if (y == 0.0) return "dirichlet";
    if (y == 1.0) return "neumann";
    if ((x == 0.0) && (y > 0.5)) return "dirichlet";
    return "robin";
  };

  Fdm.set_boundary( boundary );


  // Dirichlet Randbedingungen

  function g (x, y) {
    return (y == 0.0 ? T_Heizung : T_Aussen);
  };

  Fdm.set_function_g( g );


  // Robin Randbedingungen

  Fdm.set_function_r( T_Aussen );
  Fdm.set_omega(0.5);


  // Problem loesen und darstellen

  Fdm.solve_poisson();
  Fdm.plot_solution("plot", 340, 340);

</script>

</body>
</html>

​x
 
<!DOCTYPE HTML>
<html>​<head>  <script src="taramath.js"></script></head>​<body>​<div id="plot"></div>​<script>​  var T_Heizung = 40; // Temperatur Fussbodenheizung  var T_Aussen = -10; // Aussentemperatur​​  // Definition des Gebietes​  Fdm.init(0.0, 1.5, 0.0, 1.0, 0.1);​​  // Definition der Randbedingungen​  function boundary (x, y) {    if (y == 0.0) return "dirichlet";    if (y == 1.0) return "neumann";    if ((x == 0.0) && (y > 0.5)) return "dirichlet";    return "robin";  };​  Fdm.set_boundary( boundary );​​

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