taramath: Fourier.transform

Beschreibung

Die Funktion besitzt folgende Argumente:

y	Stützwerte, d.h. eindimensionales Array

Es wird die (reellwertige) eindimensionale diskrete Fouriertransformation berechnet und entsprechend zurückgegeben. Genauer sei y ein Array bestehend aus den Elementen

Weiterhin seien äquidistante Stützstellen auf dem Intervall und wir definieren (falls ungerade)

Bestimmt werden schließlich die Faktoren und derart, dass die Interpolationsaufgabe

für alle erfüllt wird. Falls gerade ist, lässt sich die Transformation entsprechend analog definieren.

Falls eine Zweierpotenz ist, dann besitzt das Verfahren dieser Funktion eine Komplexität von . Falls keine Zweierpotenz ist, dann besitzt das Verfahren dieser Funktion eine Komplexität von .

Beispiel

Das folgende Beispiel generiert zufällige Stützwerte und führt eine diskrete Fouriertransformation durch. Die Stützwerte sowie das Ergebnis der Transformation werden entsprechend ausgegeben.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>
<body>
<textarea id="output"></textarea>
<script>

  var n = 8;
  var y = new Array(n);
  for (var i = 0; i < n; i++) y[i] = Math.random();

  var T = Fourier.transform(y);
  var a = LinearAlgebra.transpose(T)[0];
  var b = LinearAlgebra.transpose(T)[1];

  Print.init("output");
  Print.object(y);
  Print.object(T);
  Print.object(a);
  Print.object(b);

</script>
</body>
</html>

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Beispiel

Das folgende Beispiel generiert zufällige Stützwerte und führt eine diskrete Fouriertransformation durch. Das Ergebnis wird entsprechend grafisch dargestellt.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>
<body>
<div id="plot"></div>
<script>

  var n = 20;
  var y = new Array(n);
  for (var i = 0; i < n; i++) y[i] = Math.random();

  var T = Fourier.transform(y);
  var a = LinearAlgebra.transpose(T)[0];
  var b = LinearAlgebra.transpose(T)[1];

  function g (x) {
    var h = a[0]/2;
    for (var k = 1; k < n/2; k++) h += a[k] * Math.cos(k*x) + b[k] * Math.sin(k*x);
    if (n % 2 == 0) h += 0.5 * a[n/2] * Math.cos(n/2*x);
    return h;
  };

  var t = new Array(n);
  for (var i = 0; i < n; i++) t[i] = new Array(i*2*Math.PI/n, y[i]);

  Plot.init("plot", 600, 300);
  Plot.add_func(g, 0, 2*Math.PI);
  Plot.add_list(t);
  Plot.draw();

</script>
</body>
</html>

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Fourier.transform

die Fouriertransformation (eindimensional und reellwertig)