taramath: Diskrete Fouriertransformation

Beschreibung

Die (reellwertige) diskrete Fouriertransformation ist eine Interpolation von reellen Stützwerten durch Sinus- und Kosinusfunktionen unter Verwendung der äquidistanten Stützstellen . Genauer bestimmen wir für ungerade die Faktoren und der Funktion

derart, sodass für gilt. Falls gerade ist, lässt sich ähnlich definieren.

Beispiel

Im folgenden Beispiel werden (reellwertige) Stütswerte als Array definiert, um anschließend eine (reellwertige) diskrete Fouriertransformation durchzuführen. Das Ergebnis wird entsprechend grafisch dargestellt.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>
<body>
<div id="plot"></div>
<script>

var y = [0.4464, 0.7565, 0.5471, 0.9409, -0.9239, -0.1876, 0.7453, -0.1127, -0.5264, 0.2935, -0.1420, 0.7108, 0.8078, 0.1100, -0.5672, 0.1444, 0.8166, -0.1293, -0.3832];

var n = y.length;
var A = Fourier.transform(y);
var B = LinearAlgebra.transpose(A);
var a = B[0];
var b = B[1];

function g (x) {
  var h = a[0]/2;
  for (var k = 1; k < n/2; k++) h += a[k] * Math.cos(k*x) + b[k] * Math.sin(k*x);
  if (n % 2 == 0) h += 0.5 * a[n/2] * Math.cos(n/2*x);
  return h;

  var h = 0;
  for (var k = 0; k < A.length; k++) h += A[k]*Math.cos(k*x);
  return h;
};

var t = new Array(n);
for (var i = 0; i < n; i++) t[i] = [i*2*Math.PI/n, y[i]];

Plot.init("plot", 600, 300);
Plot.add_func(g, 0, 2*Math.PI);
Plot.add_list(t);
Plot.caption("Definitionsbereich", "Graph der Funktion g(x)");
Plot.draw();

</script>
</body>
</html>

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Diskrete Fouriertransformation

zur Interpolation von periodischen Funktionen